Question

5．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{cos（x-\frac{π}{2}），x∈[0，π]}\\{lo{g}_{2017}\frac{x}{π}，x∈（π，+∞）}\end{array}\right.$，若有三个不同的实数a，b，c，使得f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围为（　　）

• A． （2π，2017π）
• B． （2π，2018π）
• C． （$\frac{3π}{2}$，$\frac{4035π}{2}$）
• D． （π，2017π）

Answer 1

分析 作出y=f（x）的函数图象，根据函数的对称性可得a+b=π，求出c的范围即可得出答案．

解答 解：当x∈[0，π]时，f（x）=cos（x-$\frac{π}{2}$）=sinx，
∴f（x）在[0，π]上关于x=$\frac{π}{2}$对称，且f_max（x）=1，
又当x∈（π，+∞）时，f（x）=log₂₀₁₇$\frac{x}{π}$是增函数，
作出y=f（x）的函数图象如图所示：

令log₂₀₁₇$\frac{x}{π}$=1得x=2017π，
∵f（a）=f（b）=f（c），
∴a+b=π，c∈（π，2017π），
∴a+b+c=π+c∈（2π，2018π）．
故选：B．

点评 本题考查了函数零点与函数图象的关系，属于中档题．