Question

20．已知函数f（x）=cos2x+2sin²x+2sinx．
（Ⅰ）将函数f（2x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位得到函数g（x）的图象，若x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{12}$]，求函数g（x）的值域；
（Ⅱ）已知a，b，c分别为△ABC中角A，B，C的对边，且满足f（A）=$\sqrt{3}$+1，A∈（0，$\frac{π}{2}$），a=2$\sqrt{3}$，b=2，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，利用正弦函数的定义域和值域，求得数g（x）的值域．
（Ⅱ）先求得cosA的值，利用余弦定理求得c的值，可得△ABC的面积．

解答 解：（Ⅰ）因为f（x）=cos2x+2sin²x+2sinx=cosx²-sinx²+2sin²x+2sinx=cosx²+sinx²+2sinx=1+2sinx，
即f（x）=1+2sinx，∴函数f（2x）=1+2sin2x，
∵函数f（2x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位得到函数g（x）=1+2sin（2x-$\frac{π}{3}$）的图象，
∴$g（x）=2sin[2（x-\frac{π}{6}）]+1$，∵x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{12}$]，∴2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{6}$]，
∴sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-1，-$\frac{1}{2}$]，2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1∈[-1，0]，∴g（x）∈[-1，0]，
所以函数g（x）的值域为[0，3]．
（Ⅱ）解：∵$f（A）=\sqrt{3}+1$，∴$sinA=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$；因为$A∈（0，\frac{π}{2}）$，∴$cosA=\frac{1}{2}$．
又$cosA=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}$，$a=2\sqrt{3}$，b=2，∴c=4．
所以，△ABC面积${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=2\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，余弦定理，属于中档题．