Question

15．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ccosA=$\frac{4}{b}$且△ABC的面积S≥2．
（1）求A的取值范围；
（2）求函数f（x）=cos²A+$\sqrt{3}$sin²（$\frac{π}{2}$+$\frac{A}{2}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据△ABC的面积公式，结合题意求出tanA=$\frac{1}{2}$S≥1，即可求出A的取值范围；
（2）利用诱导公式化简函数f（x），根据A的取值范围求出f（A）的最大值．

解答 解：（1）△ABC的面积为S=$\frac{1}{2}$bcsinA，∴bcsinA=2S；
又ccosA=$\frac{4}{b}$，∴bccosA=4；
∴tanA=$\frac{1}{2}$S≥1，
∴A的取值范围是$\frac{π}{4}≤A＜\frac{π}{2}$；
（2）函数f（x）=cos²A+$\sqrt{3}$sin²（$\frac{π}{2}$+$\frac{A}{2}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=cos²A+$\sqrt{3}$cos²$\frac{A}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=cos²A+$\frac{\sqrt{3}（1+cosA）}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=cos²A+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA
=${（cosA+\frac{\sqrt{3}}{4}）}^{2}$-$\frac{3}{16}$，
∵$\frac{π}{4}$≤A≤$\frac{π}{2}$，
∴0≤cosA≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴cosA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即A=$\frac{π}{4}$时，f（A）取得最大值为$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

点评 本题考查了三角函数诱导公式的应用问题，也考查了复合函数的单调性与最值问题，是综合题．