Question

10．已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，公比q＞0，S₂=2a₂-2，S₃=a₄-2．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{lo{g}_{2}{a}_{n}}{{n}^{2}（n+2）}，n为奇数}\\{\frac{n}{{a}_{n}}，n为偶数}\end{array}\right.$，T_n为{b_n}的前n项和，求T_2n．

Answer 1

分析 （I）等比数列{a_n}的前n项和为S_n，公比q＞0，S₂=2a₂-2，S₃=a₄-2．可得a₃=a₄-2a₂，a₂q=a₂（q²-2），解得q．进而得出a₁，可得a_n．
（II）n为奇数时，b_n=$\frac{lo{g}_{2}{2}^{n}}{{n}^{2}（n+2）}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．n为偶数时，b_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$．分组求和，利用“裂项求和”方法可得奇数项之和；利用“错位相减法”与等比数列的求和公式可得偶数项之和．

解答 解：（I）∵等比数列{a_n}的前n项和为S_n，公比q＞0，S₂=2a₂-2，S₃=a₄-2．
∴a₃=a₄-2a₂，可得a₂q=a₂（q²-2），
∴q²-q-2=0，解得q=2．∴a₁+a₂=2a₂-2，即a₁=a₂-2=2a₁-2，解得a₁=2．
∴a_n=2ⁿ．
（II）n为奇数时，b_n=$\frac{lo{g}_{2}{2}^{n}}{{n}^{2}（n+2）}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．
n为偶数时，b_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$．
∴T_2n=$\frac{1}{2}$$[（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$+$\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{4}{{2}^{4}}$+…+$\frac{2n}{{2}^{2n}}$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$+$\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{4}{{2}^{4}}$+…+$\frac{2n}{{2}^{2n}}$
=$\frac{n}{2n+1}$+$\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{4}{{2}^{4}}$+…+$\frac{2n}{{2}^{2n}}$．
设A=$\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{4}{{2}^{4}}$+…+$\frac{2n}{{2}^{2n}}$，
则$\frac{1}{{2}^{2}}$A=$\frac{2}{{2}^{4}}+\frac{4}{{2}^{6}}$+…+$\frac{2n-2}{{2}^{2n}}$+$\frac{2n}{{2}^{2n+2}}$，
∴$\frac{3}{4}$A=$\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{4}}$+…+$\frac{2}{{2}^{2n}}$-$\frac{2n}{{2}^{2n+2}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}$-$\frac{2n}{{2}^{2n+2}}$，
∴A=$\frac{8}{9}$-$\frac{8+6n}{9×{4}^{n}}$．
∴T_2n=$\frac{n}{2n+1}$+$\frac{8}{9}$-$\frac{8+6n}{9×{4}^{n}}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、分类讨论方法、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．