Question

10．已知函数f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{|lnx|，（0＜x≤e）}\\{2-lnx，（x＞e）}\end{array}}$，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），求a+b+c的取值范围．

Answer 1

分析 根据f（x）的函数图象判断a，b，c的范围，利用f（a）=f（b）=f（c）得出a，b，c的关系，得出a+b+c关于a的函数，求出此函数的值域即可．

解答 解：作出函数f（x）的大致图象，如图所示：

不妨设a＜b＜c，则0＜a＜1，1＜b＜e．
∵f（a）=f（b），即-lna=lnb，∴ab=1，即b=$\frac{1}{a}$，
同理-lna=2-lnc，∴$\frac{c}{a}$=e²，即c=ae²．
∴a+b+c=a+$\frac{1}{a}$+ae²=（e²+1）a+$\frac{1}{a}$，
又0＜a＜1，1＜b＜e，b=$\frac{1}{a}$，∴$\frac{1}{e}$＜a＜1，
令函数g（a）=（e²+1）a+$\frac{1}{a}$（$\frac{1}{e}$＜a＜1），则g′（a）=e²+1-$\frac{1}{{a}^{2}}$＞0，
∴g（a）在（$\frac{1}{e}$，1）上单调递增，
∴g（$\frac{1}{e}$）＜g（a）＜g（1），即2e+$\frac{1}{e}$＜g（a）＜e²+2．
∴2e+$\frac{1}{e}$＜a+b+c＜e²+2．

点评 本题考查了方程解与函数图象的关系，函数值域的计算，属于中档题．