Question

已知函数g（x）=x²-（m+2）x+m，m∈R．
（1）若tanA、tanB是方程g（x）+3=0的两个实根，且A、B为锐角△ABC的两个内角，求m的取值范围．
（2）对任意实数a，恒有g（-1+cosa）≥0，求m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若函数g（sina）的最大值为8．求m的值．

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法,二次函数在闭区间上的最值,三角形的形状判断

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由tanA、tanB是方程g（x）+3=0的两个实根，结合韦达定理（一元二次方程根现系数关系）我们得到tanA+tanB=m+2，tanAtanB=m+3，代入两角和的正切公式，结合A、B为锐角△ABC的两个内角，tanA＞0，tanB＞0，可得m的取值范围．
（2）若对任意实数a，恒有g（-1+cosa）≥0，即g（x）=x²-（m+2）x+m≥0在[-2，0]上恒成立，结合二次函数的图象和性质分类讨论，可求m的取值范围；
（3）当m≥0，令x=sina，（x∈[-1，1]），结合函数g（x）=x²-（m+2）x+m的图象为开口朝上，且以直线x=

m+2

2

为对称轴的抛物线线，故函数g（x）=x²-（m+2）x+m在[-1，1]上为减函数，再由函数g（sina）的最大值为8．构造方程，可得m的值．

解答： 解：（1）∵tanA、tanB是方程g（x）+3=x²-（m+2）x+m+3=0的两个实根，
∴tanA+tanB=m+2，tanA•tanB=m+3，
∵A、B为锐角△ABC的两个内角，
∴tanA＞0，tanB＞0，
∴m+2＞0，且m+3＞0，
∴m＞-2，
（2）任意实数a，-1+cosa∈[-2，0]，
对任意实数a，恒有g（-1+cosa）≥0，
即g（x）=x²-（m+2）x+m≥0在[-2，0]上恒成立，
当

m+2

2

＞0，即m＞-2时，此时仅须g（0）=m≥0，
∴m≥0，
当-2≤

m+2

2

≤0，即-6≤m≤-2时，此时仅须g（

m+2

2

）=

-m2-4

4

≥0，
∴此时不存在满足条件的m值，
当

m+2

2

＜-2，即m＜-6时，此时仅须g（-2）=3m+8≥0，解得：m≥-

8

3

∴此时不存在满足条件的m值；
综上所述，m的取值范围为m≥0，
（3）当m≥0，令x=sina，（x∈[-1，1]），
此时函数g（x）=x²-（m+2）x+m的图象为开口朝上，且以直线x=

m+2

2

为对称轴的抛物线线，
故函数g（x）=x²-（m+2）x+m在[-1，1]上为减函数，
故当x=-1时，函数g（x）=x²-（m+2）x+m取最大值1+m+2+m=8，
解得：m=

5

2

点评：本题考查的知识点是不等式的解法，二次函数在闭区间上的最值，二次函数的图象和性质，难度中档．