Question

12．如图，已知AB为圆O的一条弦，点P为弧$\widehat{AB}$的中点，过点P任作两条弦PC，PD分别交AB于点E，F
求证：PE•PC=PF•PD．

Answer 1

分析 连结PA、PB、CD、BC，推导出∠PFE=∠PBA+∠DPB=∠PCB+∠DCB=∠PCD，从而E、F、D、C四点共圆．由此能证明PE•PC=PF•PD．

解答 解：连结PA、PB、CD、BC，
因为∠PAB=∠PCB，又点P为弧AB的中点，
所以∠PAB=∠PBA，
所以∠PCB=∠PBA，
又∠DCB=∠DPB，
所以∠PFE=∠PBA+∠DPB=∠PCB+∠DCB=∠PCD，
所E、F、D、C四点共圆．
所以PE•PC=PF•PD．

点评 本题考查两组线段乘积相等的证明，考查弦切角、切割线定理、圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，数形结合思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．