Question

7．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x，x≥a}\\{{x}^{3}-3x，x＜a}\end{array}\right.$若函数g（x）=2f（x）-ax恰有2个不同的零点，则实数a的取值范围是（-$\frac{3}{2}$，2）．

Answer 1

分析 求出g（x）的解析式，计算g（x）的零点，讨论g（x）在区间[a，+∞）上的零点个数，得出g（x）在（-∞，a）上的零点个数，列出不等式解出a的范围．

解答 解：g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（2-a）x，x≥a}\\{2{x}^{3}-（6+a）x，x＜a}\end{array}\right.$，
显然，当a=2时，g（x）有无穷多个零点，不符合题意；
当x≥a时，令g（x）x=0得x=0，
当x＜a时，令g（x）=0得x=0或x²=$\frac{6+a}{2}$，
（1）若a＞0且a≠2，则g（x）在[a，+∞）上无零点，在（-∞，a）上存在零点x=0和x=-$\sqrt{\frac{6+a}{2}}$，
∴$\sqrt{\frac{6+a}{2}}$≥a，解得0＜a＜2，
（2）若a=0，则g（x）在[0，+∞）上存在零点x=0，在（-∞，0）上存在零点x=-$\sqrt{\frac{6}{2}}$，
符合题意；
（3）若a＜0，则g（x）在[a，+∞）上存在零点x=0，
∴g（x）在（-∞，a）上只有1个零点，∵0∉（-∞，a），∴g（x）在（-∞，a）上的零点为x=-$\sqrt{\frac{6+a}{2}}$，
∴-$\sqrt{\frac{6+a}{2}}$＜a，解得-$\frac{3}{2}$＜a＜0．
综上，a的取值范围是（-$\frac{3}{2}$，2）．
故答案为（-$\frac{3}{2}$，2）．

点评 本题考查了函数零点的个数判断，分类讨论思想，属于中档题．