已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1中.F1.F2为左.右焦点.以F1.F2为直径的圆与椭圆在第一.三象限的交点分别为A.B.若直线AB与直线x+$\sqrt{3}$y-7=0互相垂直.则椭圆的离心率为( )A．$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$B．$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$C� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）中，F₁，F₂为左，右焦点，以F₁，F₂为直径的圆与椭圆在第一、三象限的交点分别为A、B，若直线AB与直线x+$\sqrt{3}$y-7=0互相垂直，则椭圆的离心率为（　　）

A．

$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$

B．

$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

C．

$\sqrt{3}$-1

D．

$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

分析由题意得直线AB的斜率为$\sqrt{3}$，即倾斜角为$\frac{π}{3}$．根据对称性可知$∠AO{F}_{2}=\frac{π}{3}$，$∠A{F}_{2}{F}_{1}=\frac{π}{6}$
在Rt△AF₁F₂中，$A{F}_{1}=\sqrt{3}c，A{F}_{2}=c$，则$\sqrt{3}c+c=2a$，⇒$\frac{c}{a}=\frac{2}{\sqrt{3}+1}=\sqrt{3}-1$．

解答解：如图所示，∵直线AB与直线x+$\sqrt{3}$y-7=0互相垂直，∴直线AB的斜率为$\sqrt{3}$，即倾斜角为$\frac{π}{3}$．
根据对称性可知$∠AO{F}_{2}=\frac{π}{3}$，$∠A{F}_{2}{F}_{1}=\frac{π}{6}$
在Rt△AF₁F₂中，$A{F}_{1}=\sqrt{3}c，A{F}_{2}=c$，
根据椭圆的定义则$\sqrt{3}c+c=2a$，⇒$\frac{c}{a}=\frac{2}{\sqrt{3}+1}=\sqrt{3}-1$．
故选C．

点评本题考查了椭圆的离心率，解题的关键是要合理利用椭圆、圆的性质，直线的位置关系，属于中档题．

练习册系列答案

20．

在水域上建一个演艺广场，演艺广场由看台Ⅰ，看台Ⅱ，三角形水域ABC，及矩形表演台BCDE四个部分构成（如图），看台Ⅰ，看台Ⅱ是分别以AB，AC为直径的两个半圆形区域，且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍，矩形表演台BCDE 中，CD=10米，三角形水域ABC的面积为$400\sqrt{3}$平方米，设∠BAC=θ．
（1）求BC的长（用含θ的式子表示）；
（2）若表演台每平方米的造价为0.3万元，求表演台的最低造价．

17．为了得到函数y=cos2x的图象，只要把函数$y=sin（2x-\frac{π}{3}）$的图象上所有的点（　　）

	A．	向右平行移动$\frac{5π}{12}$个单位长度		B．	向左平行移动$\frac{5π}{12}$个单位长度
	C．	向右平行移动$\frac{5π}{6}$个单位长度		D．	向左平行移动$\frac{5π}{6}$个单位长度

4．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的离心率等于2，其两条渐近线与抛物线y²=2px（p＞0）的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，${S_{△AOB}}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，则p=1．

8．

如图，矩形ABCD中，AB=2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A₁DE（A₁∉平面ABCD）．若M、O分别为线段A₁C、DE的中点，则在△ADE翻转过程中，下列说法错误的是（　　）

	A．	与平面A₁DE垂直的直线必与直线BM垂直
	B．	过E作EG∥BM，G∈平面A₁DC，则∠A₁EG为定值
	C．	一定存在某个位置，使DE⊥MO
	D．	三棱锥A₁-ADE外接球半径与棱AD的长之比为定值

15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知∠B=30°，△ABC的面积为$\frac{3}{2}$，且sinA+sinC=2sinB，则b的值为（　　）

12．

如图，已知AB为圆O的一条弦，点P为弧$\widehat{AB}$的中点，过点P任作两条弦PC，PD分别交AB于点E，F
求证：PE•PC=PF•PD．

13．2016年9月30日周杰伦“地表最强”世界巡回演唱会在山西省体育中心红灯笼体育场举行．某高校4000名女生，6000名男生中按分层抽样抽取了50名学生进行了问卷调查，调查发现观看演唱会与未观看演唱会的人数相同，其中观看演唱会的女生为15人．
（1）根据调查结果完成如下2×2列联表，并通过计算判断是否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“观看演唱会与性别有关”？
（2）从观看演唱会的4名男生和3名女生中抽取两人，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．

	观看	未观看	合计
女生
男生
合计			50

P（K²≥k₀）	0.025	0.010	0.005	0.001
k₀	5.024	6.635	7.879	10.828

参考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．

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