Question

如图所示，在直径为BC的半圆中,A是弧BC上一点，正方形PQRS内接于△ABC，若BC=a,∠ABC=θ，设△ABC的面积为S_l，正方形PQRS的面积为S₂.

（1）用a，θ表示S₁和S₂；
（2)当a固定，θ变化时，求取得最小值时θ的值．

Answer 1

（1），；（2）.

试题分析：本题主要以圆为几何背景考查三角函数的定义、三角函数的面积公式、函数的单调性及最值等数学知识，考查学生的分析问题的能力、转化能力和计算能力.第一问，在中，求出，利用求的面积，在中求出，在中求出，而，求出x的值，再求正方形PQRS的面积；第二问，先将第一问的结论代入中化简表达式，用换元法，简化表达式，利用函数的单调性求的最小值.
试题解析：(1)因为AB＝acosθ，
∴，
设正方形边长为x，，RC＝xtanθ，
则，解之得
所以（6分）
(2)当a固定，θ变化时，
设sin2θ＝t，则．
∵，∴0＜t≤1，，
易证f(t)在(0，1]上是减函数．
故当t＝1时，取最小值，此时（12分）