题目内容

4．某小区提倡低碳生活，环保出行，在小区提供自行车出租．该小区有40辆自行车供小区住户租赁使用，管理这些自行车的费用是每日92元，根据经验，若每辆自行车的日租金不超过5元，则自行车可以全部出租，若超过5元，则每超过1元，租不出的自行车就增加2辆，为了便于结算，每辆自行车的日租金x元只取整数，用f（x）元表示出租自行车的日纯收入（日纯收入=一日出租自行车的总收入-管理费用）
（1）求函数f（x）的解析式及其定义域；
（2）当租金定为多少时，才能使一天的纯收入最大？

分析 （1）利用函数关系建立各个取值范围内的净收入与日租金的关系式，写出该分段函数，是解决该题的关键，注意实际问题中的自变量取值范围；
（2）利用一次函数，二次函数的单调性解决该最值问题是解决本题的关键．注意自变量取值区间上的函数类型．应取每段上最大值的较大的即为该函数的最大值．

解答 解：（1）由题意：当0＜x≤5且x∈N*时，f（x）=40x-92  …（1分）
当x＞5且x∈N*时，f（x）=[40-2（x-5）]x-92=-2x2+50x-92 …（3分）
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}40x-92（0＜x≤5且x∈{N^*}）\\-2{x^2}+50x-92（5＜x≤40且x∈{N^*}）\end{array}\right.$…（5分）
其定义域为{x|x∈N*且x≤40}…（6分）
（2）当0＜x≤5且x∈N*时，f（x）=40x-92，
∴当x=5时，f（x）max=108（元）                    …（8分）
当x＞5且x∈N*时，f（x）=-2x2+50x-92=-2（x-$\frac{25}{2}$）2+$\frac{541}{2}$
∵开口向下，对称轴为x=$\frac{25}{2}$，
又∵x∈N*，∴当x=12或13时f（x）max=220（元）              …（10分）
∵220＞108，∴当租金定为12元或13元时，一天的纯收入最大为220元                       …（12分）

点评 本题考查学生的函数模型意识，注意分段函数模型的应用．将每一段的函数解析式找准相应的函数类型，利用相关的知识进行解决．

练习册系列答案
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