Question

14．设数列{a_n}的前n项积为T_n，且T_n=2-2a_n（n∈N^*），则a₂₀₁₆=$\frac{2017}{2018}$．

Answer 1

分析 数列{a_n}的前n项积为T_n，且T_n=2-2a_n，当n=1时，a₁=2-2a₁，解得a₁．当n≥2时，T_n-1=2-2a_n-1，可得a_n=$\frac{{T}_{n}}{{T}_{n-1}}$=$\frac{2-2{a}_{n}}{2-2{a}_{n-1}}$，取n=2，3，可得a₂=$\frac{3}{4}$，a₃=$\frac{4}{5}$，验证成立，a₂₀₁₆=$\frac{2017}{2018}$．

解答 解：：∵数列{a_n}的前n项积为T_n，且T_n=2-2a_n，
∴当n=1时，a₁=2-2a₁，解得a₁=$\frac{2}{3}$，
当n≥2时，T_n-1=2-2a_n-1，
∴a_n=$\frac{{T}_{n}}{{T}_{n-1}}$=$\frac{2-2{a}_{n}}{2-2{a}_{n-1}}$，
化为a_n=$\frac{1}{2-{a}_{n-1}}$，
取n=2，3，可得a₂=$\frac{3}{4}$，a₃=$\frac{4}{5}$，
…，
猜想a_n=$\frac{n+1}{n+2}$．
经过验证成立．
∴a_n=$\frac{n+1}{n+2}$，
∴a₂₀₁₆=$\frac{2017}{2018}$，
故答案为：$\frac{2017}{2018}$．

点评 本题考查了递推式的应用、数列通项公式的求法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．