Question

12．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）．

（1）分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系式；
（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？

Answer 1

分析 （1）由投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比，结合函数图象，我们可以利用待定系数法来求两种产品的收益与投资的函数关系；
（2）由（1）的结论，我们设设投资债券类产品x万元，则股票类投资为20-x万元．这时可以构造出一个关于收益y的函数，然后利用求函数最大值的方法进行求解．

解答 解：（1）f（x）=k₁x，g（x）=${k}_{2}\sqrt{x}$，
f（1）=$\frac{1}{8}$=k₁，g（1）=k₂=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=$\frac{1}{8}$x（x≥0），g（x）=$\frac{1}{2}\sqrt{x}$（x≥0）
（2）设：投资债券类产品x万元，则股票类投资为20-x万元．
y=f（x）+g（20-x）=$\frac{x}{8}+\frac{1}{2}\sqrt{20-x}$（0≤x≤20）
令t=$\sqrt{20-x}$，则y=$\frac{20-{t}^{2}}{8}+\frac{1}{2}t$=-$\frac{1}{8}（t-2）^{2}+3$．
所以当t=2，即x=16万元时，收益最大，y_max=3万元．

点评 函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．