Question

10．已知△ABC中的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a=2，$C-B=\frac{π}{2}$，则c-b的取值范围是（$\sqrt{2}$，2）．

Answer 1

分析 用B表示出A，C，根据正弦定理得出b，c，得到c-b关于B的函数，利用B的范围和正弦函数的性质求出c-b的范围．

解答 解：∵C-B=$\frac{π}{2}$，
∴C=B+$\frac{π}{2}$，A=π-B-C=$\frac{π}{2}$-2B，
∴sinA=cos2B，sinC=cosB，
由A=$\frac{π}{2}$-2B得0＜B＜$\frac{π}{4}$，
由正弦定理得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，
∴b=$\frac{asinB}{sinA}$=$\frac{2sinB}{cos2B}$，c=$\frac{asinC}{sinA}$=$\frac{2cosB}{cos2B}$，
∴c-b=2（$\frac{cosB-sinB}{cos2B}$）=2（$\frac{cosB-sinB}{co{s}^{2}B-si{n}^{2}B}$）=$\frac{2}{cosB+sinB}$=$\frac{\sqrt{2}}{sin（B+\frac{π}{4}）}$
∵0＜B＜$\frac{π}{4}$，
∴$\frac{π}{4}$＜B+$\frac{π}{4}$＜$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜sin（B+$\frac{π}{4}$）＜1，
∴$\sqrt{2}$＜$\frac{\sqrt{2}}{sin（B+\frac{π}{4}）}$＜2，
故答案为：$（\sqrt{2}，2）$．

点评 本题考查了正弦定理，三角函数的恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题．