Question

已知圆C：（x-3）²+（y-4）²=1和两点A（-m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P使得∠APB=90°，则m的最大值为

 

．

Answer 1

考点：圆的标准方程

专题：直线与圆

分析：C：（x-3）²+（y-4）²=1的圆心C（3，4），半径r=1，设P（a，b）在圆C上，则

AP

=（a+m，b），

BP

=（a-m，b），由已知得m²=a²+b²=|OP|²，m的最大值即为|OP|的最大值．

解答： 解：圆C：（x-3）²+（y-4）²=1的圆心C（3，4），半径r=1，
设P（a，b）在圆C上，则

AP

=（a+m，b），

BP

=（a-m，b），
∵∠APB=90°，∴

AP

⊥

BP

，
∴

AP

•

BP

=（a+m）（a-m）+b²=0，
∴m²=a²+b²=|OP|²，
∴m的最大值即为|OP|的最大值，等于|OC|+r=5+1=6．
故答案为：6．

点评：本题考查实数的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．