Question

15．同时具有性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线$x=\frac{π}{3}$对称；③在$[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$上是增函数．”的一个函数为（　　）

• A． $y=sin（{\frac{x}{2}+\frac{π}{6}}）$
• B． $y=cos（{\frac{x}{2}-\frac{π}{6}}）$
• C． $y=cos（{2x+\frac{π}{6}}）$
• D． $y=sin（{2x-\frac{π}{6}}）$

Answer 1

分析 利用正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．

解答 解：由于y=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）的最小正周期为$\frac{2π}{\frac{1}{2}}$=4π，不满足①，故排除A．
由于y=cos（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{6}$）的最小正周期为$\frac{2π}{\frac{1}{2}}$=4π，不满足①，故排除B．
由于y=cos（2x+$\frac{π}{6}$），在$[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$上，2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
故y=cos（2x+$\frac{π}{6}$）在$[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$上没有单调性，故排除C．
对于y=sin（2x-$\frac{π}{6}$）的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π；
当$x=\frac{π}{3}$时，函数取得最大值为1，故图象关于直线$x=\frac{π}{3}$对称；
在$[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$上，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，故y=sin（2x-$\frac{π}{6}$）在$[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$上是增函数，
故D满足题中的三个条件，
故选：D．

点评 本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．