Question

4．已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且过点$（{1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$．
（1）求E的方程；
（2）若直线l：y=kx+m（k＞0）与E相交于P，Q两点，且OP与OQ（O为坐标原点）的斜率之和为2，求O到直线l距离的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由椭圆离心率及点在椭圆上，列式计算，求出a²，b²，即可得椭圆E的方程．
（2）把y=kx+m代入E的方程得：（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0，其判别式△=16（4k²-m²+1）＞0，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由已知得${k_{OF}}+{k_{OQ}}=\frac{y_1}{x_1}+\frac{y_2}{x_2}=\frac{{{y_1}{x_2}+{y_2}{x_1}}}{{{x_1}{x_2}}}=\frac{{（{k{x_1}+m}）{x_2}+（{k{x_2}+m}）{x_1}}}{{{x_1}{x_2}}}=2$，2（k-1）x₁x₂+m（x₁+x₂）=0，即m²+k=1，0＜k≤1，点O到直线l的距离为d，当k=1时，d=0；当k≠1时$d=\frac{|m|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\frac{1}{{\sqrt{\frac{{{k^2}+1}}{m^2}}}}=\frac{1}{{\sqrt{\frac{{{k^2}+1}}{1-k}}}}$，令1-k=t∈（0，1），利用函数单调性可得点O到直线l的距离的取值范围

解答 解：（1）由已知得$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{a^2}+\frac{3}{{4{b^2}}}=1$，
解得a²=4，b²=1，∴椭圆E的方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（2）把y=kx+m代入E的方程得：（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0，
其判别式△=16（4k²-m²+1）＞0，①
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则${x_1}+{x_2}=\frac{-8km}{{1+4{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{4（{{m^2}-1}）}}{{1+4{k^2}}}$，②
由已知得${k_{OF}}+{k_{OQ}}=\frac{y_1}{x_1}+\frac{y_2}{x_2}=\frac{{{y_1}{x_2}+{y_2}{x_1}}}{{{x_1}{x_2}}}=\frac{{（{k{x_1}+m}）{x_2}+（{k{x_2}+m}）{x_1}}}{{{x_1}{x_2}}}=2$，
∴2（k-1）x₁x₂+m（x₁+x₂）=0，③
把②代入③得$\frac{{8（{k-1}）（{{m^2}-1}）}}{{1+4{k^2}}}-\frac{{8k{m^2}}}{{1+4{k^2}}}=0$，
即m²+k=1，④
把④代入①及k＞0知4k²+k＞0，
又m²=1-k≥0，∴0＜k≤1，
点O到直线l的距离为d，
当k=1时，d=0；
当k≠1时，$d=\frac{|m|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\frac{1}{{\sqrt{\frac{{{k^2}+1}}{m^2}}}}=\frac{1}{{\sqrt{\frac{{{k^2}+1}}{1-k}}}}$，
令1-k=t∈（0，1），则$d=\frac{1}{{\sqrt{t+\frac{2}{t}-2}}}$，
设$y=t+\frac{2}{t}-2$，则$y'=1-\frac{2}{t^2}=\frac{{{t^2}-2}}{t^2}＜0$，∴$y=t+\frac{2}{t}-2$在（0，1）单调递减，
∴当t∈（0，1）时，d∈（0，1），
综上，点O到直线l的距离的取值范围为[0，1）．

点评 本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，距离公式，同时考查了函数与方程思想及运算能力，属于难题．