Question

5．如果x₀是函数f（x）的一个零点，且在这个零点两侧函数值异号，则称x₀是函数f（x）的一个变号零点，已知函数f（x）=ax²+1+lnx在（$\frac{1}{e}$，e）上有且仅有一个变号零点，则实数a的取值范围为（　　）

• A． [-$\frac{2}{{e}^{2}}$，0）
• B． [-$\frac{2}{{e}^{2}}$，0）∪{$-\frac{1}{2}$e}
• C． [-$\frac{e}{2}$，0）
• D． [-$\frac{2}{{e}^{2}}$，0]

Answer 1

分析 分类参数得-a=$\frac{lnx+1}{{x}^{2}}$，判断右侧函数的单调性，作出函数图象，根据方程只有1解得出a的范围．

解答 解：令f（x）=0得-a=$\frac{lnx+1}{{x}^{2}}$，
令g（x）=$\frac{lnx+1}{{x}^{2}}$，则g′（x）=$\frac{\frac{1}{x}•{x}^{2}-（lnx+1）•2x}{{x}^{4}}$=$\frac{-2lnx-1}{{x}^{3}}$，
令g′（x）=0得x=e${\;}^{-\frac{1}{2}}$，
∴当x∈（$\frac{1}{e}$，e${\;}^{-\frac{1}{2}}$）时，g′（x）＞0，当x∈（e${\;}^{-\frac{1}{2}}$，e）时，g′（x）＜0，
∴g（x）在（$\frac{1}{e}$，e${\;}^{-\frac{1}{2}}$）上单调递增，在（e${\;}^{-\frac{1}{2}}$，e）上单调递减，
且g（$\frac{1}{e}$）=0，g（e）=$\frac{2}{{e}^{2}}$，g（e${\;}^{-\frac{1}{2}}$）=$\frac{e}{2}$．
作出g（x）的大致函数图象如图所示：

∵f（x）在（$\frac{1}{e}$，e）上只有一个零点，∴-a=g（x）在（$\frac{1}{e}$，e）上只有1解，
∴0＜-a≤$\frac{2}{{e}^{2}}$或-a=$\frac{e}{2}$，解得-$\frac{2}{{e}^{2}}$≤a＜0或a=-$\frac{e}{2}$．
故选B．

点评 本题考查了方程零点个数与函数图象的关系，函数的单调性判断，属于中档题．