Question

17．已知直线l过点（1，3），且与x轴、y轴都交于正半轴，求：
（1）直线l与坐标轴围成面积的最小值及此时直线l的方程；
（2）直线l与两坐标轴截距之和的最小值及此时直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）设直线的方程为：y-3=k（x-1），（k＜0），可得与坐标轴的交点（0，3-k），（1-$\frac{3}{k}$，0）．∴S=$\frac{1}{2}$$|（3-k）（1-\frac{3}{k}）|$=$\frac{1}{2}|-k+\frac{9}{-k}+6|$，利用基本不等式的性质即可得出．
（2）直线l与两坐标轴截距之和=3-k+1-$\frac{3}{k}$=4+（-k）+$\frac{3}{-k}$，利用基本不等式的性质与截距式即可得出．

解答 解：（1）设直线的方程为：y-3=k（x-1），（k＜0），
可得与坐标轴的交点（0，3-k），（1-$\frac{3}{k}$，0）．
∴S=$\frac{1}{2}$$|（3-k）（1-\frac{3}{k}）|$=$\frac{1}{2}|-k+\frac{9}{-k}+6|$≥$\frac{1}{2}（2\sqrt{（-k）×\frac{9}{-k}}+6）$=6，
当且仅当-k=3，即k=-3时取等号．
∴直线l与坐标轴围成面积的最小值为6，
及此时直线l的方程为：y-3=-3（x-1），化为3x+y-6=0．
（2）直线l与两坐标轴截距之和=3-k+1-$\frac{3}{k}$=4+（-k）+$\frac{3}{-k}$≥4+2$\sqrt{（-k）•\frac{3}{-k}}$=4+2$\sqrt{3}$，
当且仅当-k=$\sqrt{3}$，即k=-$\sqrt{3}$时取等号．
∴此时直线l的方程为：$\frac{x}{1+\sqrt{3}}$+$\frac{y}{3+\sqrt{3}}$=1．

点评 本题考查了直线的截距式、基本不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．