Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

2an

2+an

（n∈N₊），试写出这个数列的前4项，并猜想这个数列的通项公式，并给以证明．

Answer 1

考点：数列的概念及简单表示法

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：根据数列的递推公式，计算出数列{a_n}的前4项，猜想出通项公式，并用数学归纳法证明．

解答： 解：数列{a_n}中，∵a₁=1，a_n+1=

2an

2+an

（n∈N₊），
∴a₂=

2a1

2+a1

=

2×1

2+1

=

2

3

，
a₃=

2a2

2+a2

=

2× 2 3

2+ 2 3

=

1

2

，
a₄=

2a3

2+a3

=

2× 1 2

2+ 1 2

=

2

5

，…；
猜想数列{a_n}的通项公式为a_n=

2

n+1

，n∈N^*；
用数学归纳法证明：
当n=1时，a₁=

2

2

=1，满足条件；
假设n=k时，a_k=

2

k+1

成立，
则n=k+1时，a_k+1=

2ak

2+ak

=

2× 2 k+1

2+ 2 k+1

=

2

k+2

，也满足条件；
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=

2

n+1

，n∈N^*．

点评：本题考查了数列的递推公式以及计算数列的项和猜想归纳推论能力，解题时可用数学归纳法证明，是综合题．