Question

已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a+b+c=10，cosC=

7

8

，则S_△ABC的最大值为

 

．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：解三角形

分析：由cosC的值，求出sinC的值，由a+b+c=10，得到a+b=10-c，利用余弦定理表示出cosC，利用完全平方公式变形后，把a+b=10-c代入整理表示出ab，利用基本不等式得到ab≤（

a+b

2

）²，把a+b=10-c代入，结合表示出的ab，求出c的范围，利用三角形面积公式表示出S_△ABC，根据c的范围求出S_△ABC的最大值即可．

解答： 解：∵cosC=

7

8

，C为三角形内角，
∴sinC=

1-cos2C

=

15

8

，
∵a+b+c=10，即a+b=10-c，
∴由余弦定理得：cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

(a+b)2-2ab-c2

2ab

=

(10-c)2-2ab-c2

2ab

=

7

8

，
整理得：ab=

80-16c

3

，
由基本不等式得：ab≤（

a+b

2

）²=（

10-c

2

）²，即

80-16c

3

≤

(10-c)2

4

，
整理得：3c²+4c-20≥0，
解得：c≥2，
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

15

16

ab≤

15

16

•（

10-c

2

）²，
显然当c=2时，S_△ABC的最大值为

15

．
故答案为：

15

点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．