Question

△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c；则下列命题正确的

 

①若ab＞c²；则c＜

π

3

②若a+b＞2c；则c＜

π

3

③若a³+b³=c³；则c＜

π

2

④若（a+b）c＜2ab；则c＞

π

2

⑤若（a²+b²）c²＜2a²b²；则c＞

π

3

．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：①利用余弦定理结合均值不等式．②利用余弦定理，再结合均值定理即可证明．③利用反证法，假设C≥

π

2

时，推出与题设矛盾，即可证明此命题正确．④取特殊值，在满足条件的情况下，判断角C的大小；⑤举一个反例说明，取a=b=

2

，c=1满足题意，但是C＜

π

3

．

解答： 解：①∵a²+b²≥2ab，
∴由余弦定理得cosC=

a2+b2-c2

2ab

，
∵ab＞c²，
∴-c²＞-ab，
∴cosC═

a2+b2-c2

2ab

≥

2ab-ab

2ab

=

1

2

，即0＜C＜

π

3

，选项①正确；
②∵a+b＞2c，
∴（a+b）²＞4c²，即c²＜

(a+b)2

4

，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

，即0＜C＜

π

3

，选项②正确；
③假设C≥

π

2

，则c²≥a²+b²，
∴c³≥ca²+cb²＞a³+b³，与a³+b³=c³矛盾，
∴假设不成立．即C＜

π

2

成立，选项③正确；
④取a=b=2，c=1，满足（a+b）c＜2ab得C为锐角，选项④错误；
⑤取a=b=

2

，c=1，满足（a²+b²）c²＜2a²b²，此时有C＜

π

3

，故⑤错误；
则命题正确的是①②③．
故答案为：①②③

点评：此题考查了余弦定理，反证法，以及特值法，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．