Question

9．已知命题p：实数m满足：方程$\frac{{x}^{2}}{m-3a}$+$\frac{{y}^{2}}{m-4a}$=1（a＞0）表示双曲线；命题q：实数m满足方程$\frac{{x}^{2}}{m-1}$+$\frac{{y}^{2}}{2-m}$=1表示焦点在y轴上的椭圆，且?p是?q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 求出命题p、q是真命题时m的取值范围，再根据￢p是￢q的必要不充分条件得出￢q是￢p的充分不必要条件，从而求出a的取值范围．

解答 解：若方程$\frac{{x}^{2}}{m-3a}$+$\frac{{y}^{2}}{m-4a}$=1（a＞0）表示双曲线，
则有（m-3a）（m-4a）＜0（a＞0），
解得3a＜m＜4a；
由方程$\frac{{x}^{2}}{m-1}$+$\frac{{y}^{2}}{2-m}$=1表示焦点在y轴上的椭圆，
则有2-m＞m-1＞0，
解得1＜m＜$\frac{3}{2}$；
由￢p是￢q的必要不充分条件，∴可知￢q是￢p的充分不必要条件，
即$\left\{\begin{array}{l}{3a≥1}\\{4a≤\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
从而解得$\frac{1}{3}$≤a≤$\frac{3}{8}$．

点评 本题利用充分、必要条件考查了椭圆与双曲线的标准方程的应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是基础题目．