Question

18．如图，在△ABC中，AB=12，$AC=3\sqrt{6}$，$BC=5\sqrt{6}$，点D在边BC上，且∠ADC=60°．
（Ⅰ）求cosC；
（Ⅱ）求线段AD的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知根据余弦定理可得$cosC=\frac{{A{C^2}+B{C^2}-A{B^2}}}{2AC•BC}$代入计算即可得解．
（Ⅱ）由0＜C＜π，可得sinC＞0，从而可求sinC的值，利用正弦定理即可求得AD的值．

解答 （本小题共13分）
解：（Ⅰ）∵AB=12，$AC=3\sqrt{6}$，$BC=5\sqrt{6}$，
∴根据余弦定理：$cosC=\frac{{A{C^2}+B{C^2}-A{B^2}}}{2AC•BC}$=$\frac{{{{（3\sqrt{6}）}^2}+{{（5\sqrt{6}）}^2}-{{12}^2}}}{{2•3\sqrt{6}•5\sqrt{6}}}=\frac{1}{3}$．…（6分）
（Ⅱ）∵0＜C＜π，
∴sinC＞0，$sinC=\sqrt{1-{{cos}^2}C}=\sqrt{1-{{（\frac{1}{3}）}^2}}=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．
∴根据正弦定理得：$\frac{AD}{sinC}=\frac{AC}{sin∠ADC}$，即：$AD=\frac{AC•sinC}{sin∠ADC}$=8．…（13分）

点评 本题主要考查了余弦定理，正弦定理，同角三角函数基本关系式的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．