Question

9．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{kx-2，x＞0}\\{-ln（-x），x＜0}\end{array}\right.$ 的图象上有两对关于坐标原点对称的点，则实数k的取值范围是（　　）

• A． （0，1）
• B． （0，$\frac{1}{e}$）
• C． （0，+∞）
• D． （0，e）

Answer 1

分析 求出x＞0时关于原点对称的函数g（x）=lnx，由题意可得g（x）的图象和y=kx-2（x＞0）的图象有两个交点．设出直线y=kx-2与y=g（x）相切的切点为（m，lnm），求出g（x）的导数，求得切线的斜率，解方程可得切点和k的值，由图象即可得到所求范围．

解答 解：当x＜0时，f（x）=-ln（-x），
由f（x）的图象关于原点对称，可得
g（x）=lnx（x＞0），
由题意可得g（x）的图象和y=kx-2（x＞0）的图象有两个交点．
设直线y=kx-2与y=g（x）相切的切点为（m，lnm），
由g（x）的导数为g′（x）=$\frac{1}{x}$，
即有切线的斜率为$\frac{1}{m}$=k，
又lnm=km-2，解得m=$\frac{1}{e}$，k=e，
由图象可得0＜k＜e时，有两个交点．
故选：D．

点评 本题考查图象对称问题的解法，注意运用数形结合的思想方法，考查导数的运用：求切线的斜率，考查运算能力，属于中档题．