Question

10．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin²$\frac{B+C}{2}$+cos2A=$\frac{1}{4}$．
（I）求A的值；
（Ⅱ）若a=$\sqrt{3}$，求bc的最大值．

Answer 1

分析 （I）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得8cos²A+2cosA-3=0，从而解得cosA=$\frac{1}{2}$，由A为锐角，即可求得A的值．
（Ⅱ）利用余弦定理及基本不等式即可得：3=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc，当且仅当b=c时等号成立，从而得解．

解答 解：（I）∵sin²$\frac{B+C}{2}$+cos2A=$\frac{1}{4}$．
⇒$\frac{1-cos（π-A）}{2}$+cos2A=$\frac{1}{4}$，
⇒8cos²A+2cosA-3=0，
∴解得：cosA=$\frac{1}{2}$或-$\frac{3}{4}$（A为锐角，舍去）．
∴A=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）∵A=$\frac{π}{3}$，a=$\sqrt{3}$，
∴由余弦定理可得：3=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc，当且仅当b=c时等号成立，
∴bc的最大值为：3．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理及基本不等式的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．