Question

12．已知函数f（x）=sin（2ωx-$\frac{π}{6}}$）-4sin²ωx（ω＞0），其图象相邻的两个对称中心之间的距离为$\frac{π}{2}$．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位，得到函数g（x）的图象，试讨论g（x）在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}}$]上的单调性．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性求得ω的值，可得函数的解析式．
（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得g（x）在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}}$]上的单调性．

解答 解：（1）∵函数f（x）=sin（2ωx-$\frac{π}{6}}$）-4sin²ωx=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx-4•$\frac{1-cos2ωx}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx+$\frac{3}{2}$cos2ωx-2=$\sqrt{3}$sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）-2（ω＞0），
∵其图象相邻的两个对称中心之间的距离为$\frac{π}{2}$，∴$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{2ω}$=$\frac{π}{2}$，
∴ω=1，f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）-2．
（2）将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位，得到函数g（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）-2的图象，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，故函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z．
再结合x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}}$]，可得函数的增区间为[-$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}$]．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ+$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{11π}{6}$，故函数的增区间为[kπ+$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{11π}{6}$]，k∈Z．
再结合x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}}$]，可得函数的减区间为[$\frac{5π}{12}$，$\frac{π}{2}$]．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象的对称性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于中档题．