Question

2．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）的一个焦点为F（$\sqrt{5}$，0），离心率e=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线l过点F交椭圆C于A、B两点，且$\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，解得a=3，b=4，进而得到椭圆的方程；
（2）讨论直线l的斜率不存在，不合题意；存在，设l的方程为y=k（x-$\sqrt{5}$），代入椭圆方程，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），运用韦达定理，以及向量共线的坐标表示，化简整理可得k的方程，解得k，即可得到所求直线的方程．

解答 解：（1）由题意得c=$\sqrt{5}$，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
解得a=3，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=4，
即有椭圆C方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；  
（2）若l的斜率不存在，根据图形的对称性有$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{FB}$，不合题意；
设l的斜率为k，则l的方程为y=k（x-$\sqrt{5}$），
代入椭圆方程，化得（4+9k²）x²-18$\sqrt{5}$k²x+45k²-36=0，
记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
x₁+x₂=$\frac{18\sqrt{5}{k}^{2}}{4+9{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{45{k}^{2}-36}{4+9{k}^{2}}$，
且y₁=k（x₁-$\sqrt{5}$），y₂=k（x₂-$\sqrt{5}$），
$\overrightarrow{AF}$=（$\sqrt{5}$-x₁，-y₁），$\overrightarrow{FB}$=（x₂-$\sqrt{5}$，y₂），
由$\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB}$，可得$\sqrt{5}$-x₁=2（x₂-$\sqrt{5}$），
即x₁+2x₂=3$\sqrt{5}$，
解得x₂=3$\sqrt{5}$-$\frac{18\sqrt{5}{k}^{2}}{4+9{k}^{2}}$=$\frac{12\sqrt{5}+9\sqrt{5}{k}^{2}}{4+9{k}^{2}}$，
x₁=$\frac{18\sqrt{5}{k}^{2}}{4+9{k}^{2}}$-$\frac{12\sqrt{5}+9\sqrt{5}{k}^{2}}{4+9{k}^{2}}$=$\frac{-12\sqrt{5}+9\sqrt{5}{k}^{2}}{4+9{k}^{2}}$，
代入x₁x₂=$\frac{45{k}^{2}-36}{4+9{k}^{2}}$，
化为k²=4，即k=±2
则直线l的方程为y=±2（x-$\sqrt{5}$）．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式，考查直线方程的求法，注意运用直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，考查化简整理的运算能力，属于中档题．