Question

20．若（2x+$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ的展开式中第2项与第3项系数相等，则${∫}_{0}^{3}$x^n-2dx=$\frac{81}{4}$．

Answer 1

分析 由条件可得${C}_{n}^{1}$•2^n-1=${C}_{n}^{2}$•2^n-2，求得n=5，从而求得${∫}_{0}^{3}$x^n-2dx 的值．

解答 解：∵（2x+$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ的展开式中第2项与第3项系数相等，∴${C}_{n}^{1}$•2^n-1=${C}_{n}^{2}$•2^n-2，求得n=5，
则${∫}_{0}^{3}$x^n-2dx=${∫}_{0}^{3}{x}^{3}dx$=$\frac{{x}^{4}}{4}$${|}_{0}^{3}$=$\frac{81}{4}$，
故答案为：$\frac{81}{4}$．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．