Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，n（a_n+1-a_n）=a_n+n²+n，n∈N^*
（1）证明：数列{

an

n

}是等差数列；
（2）设an=(

bn

3n

)2，求正项数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）把已知的数列递推式展开整理，移向后作比即可证得数列{

an

n

}是等差数列；
（2）由数列{

an

n

}是等差数列求出其通项公式，得到数列{a_n}的通项公式，代入an=(

bn

3n

)2求出正项数列{b_n}的通项公式，然后利用错位相减法求和．

解答： （1）证明：由n（a_n+1-a_n）=a_n+n²+n，得
nan+1-nan-an=n2+n，即na_n+1-（n+1）a_n=n（n+1），
∴

an+1

n+1

-

an

n

=1．
∴数列{

an

n

}是等差数列；
（2）解：∵数列{

an

n

}是等差数列，
∴

an

n

=1+(n-1)=n，
则an=n2．
由an=(

bn

3n

)2，得(

bn

3n

)2=n2，
∴bn=n3n．
∴Sn=1•31+2•32+…+n•3n，
3Sn=1•32+2•33+…+n•3n+1，
两式作差得：-2Sn=3+32+…+3n-n•3n+1=

3(1-3n)

1-3

-n•3n+1．
∴Sn=

3

4

(1-3n)+

n

2

•3n+1．

点评：本题考查了等差关系的确定，考查了错位相减法求数列的和，是中档题．