Question

11．若实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}x-y≤1\\ x-2y+2≥0\\ 2x+y≥2\end{array}\right.$则z=x-ay只在点（4，3）处取得最大值，则a的取值范围为（　　）

• A． （-∞，0）∪（1，+∞）
• B． （1，+∞）
• C． （0，1）
• D． （-∞，1）

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，然后对a进行分类，当a≥0时显然满足题意，当a＜0时，化目标函数为直线方程斜截式，比较其斜率与直线BC的斜率的大小得到a的范围．

解答 解：由不等式组$\left\{\begin{array}{l}x-y≤1\\ x-2y+2≥0\\ 2x+y≥2\end{array}\right.$作可行域如图，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x-2y=-2}\\{x-y=1}\end{array}\right.$，解得C（4，3）．
当a=0时，目标函数化为z=x，由图可知，
可行解（4，3）使z=x-ay取得最大值，符合题意；
当a＞0时，由z=x-ay，得y=$\frac{1}{a}$x$-\frac{z}{a}$，此直线斜率大于0，当在y轴上截距最大时z最大，
可行解（4，3）为使目标函数z=x-ay的最优解，
a＜1符合题意；
当a＜0时，由z=x-ay，得y=$\frac{1}{a}$x$-\frac{z}{a}$，此直线斜率为负值，
要使可行解（4，3）为使目标函数z=x-ay取得最大值的唯一的最优解，则$\frac{1}{a}$＜0，即a＜0．
综上，实数a的取值范围是（-∞，1）．
故选：D．

点评 本题考查线性规划问题，考查了分类讨论的数学思想方法和数形结合的解题思想方法，解答的关键是化目标函数为直线方程斜截式，由直线在y轴上的截距分析z的取值情况，是中档题．