Question

19．已知函数f（x）=x³-6x²+3x+t，（t∈R）．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若函数g（x）=e^xf（x）只有一个极值点，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令f′（x）=3x²-12x+3＜0，可求函数f（x）的单调递减区间；
（2）求导函数，f′（x）=（3x²-12x+3）e^x+（x³-6x²+3x+t）e^x=（x³-3x²-9x+t+3）e^x，函数g（x）=e^xf（x）有一个极值点，所以x³-3x²-9x+t+3=0有一个穿过x轴的根，即在其两边g'（x）异号，故可求t的取值范围．

解答 解：（1）令f'（x）=3x²-12x+3＜0，
∴2-$\sqrt{3}$＜x＜2+$\sqrt{3}$，
∴函数f（x）的单调递减区间是（2-$\sqrt{3}$，2+$\sqrt{3}$）；（5分）
（2）g'（x）=（3x²-12x+3）e^x+（x³-6x²+3x+t）e^x=（x³-3x²-9x+t+3）e^x
∵g（x）有一个极值点，
∴x³-3x²-9x+t+3=0有一个穿过x轴的根，即在其两边g'（x）异号-----------------------------------（8分）
令h（x）=x³-3x²-9x+t+3，则h'（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3）
由h'（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3）＞0得x＜-1或x＞3…（10分）
h（x）在区间（-∞，-1）和（3，+∞）上递增，在区间（-1，3）上递减．
∴h（-1）h（3）≥0∴t≤-8或t≥24．…（12分）

点评 本题考查函数的极值和单调性的应用，考查利用导数求函数的单调性，考查函数的极值，解题的关键是将函数g（x）=e^xf（x）有一个极值点，转化为x³-3x²-9x+t+3=0有一个穿过x轴的根，即在其两边g'（x）异号．