Question

在一次研究性学习中，老师给出函数f（x）=

x

1+|x|

（x∈R），三位同学甲、乙、丙在研究此函数时
给出命题：你认为上述三个命题中正确的个数有（　　）
甲：函数f（x）的值域为（-1，1）；乙：若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂）；
丙：若规定f₁（x）=f（x），f_n（x）=f（f_n-1（x）），则f_n（x）≥

x

1+n|x|

对任意n∈N^*恒成立．

• A、0个
• B、1个
• C、2个
• D、3个

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：甲：利用函数的奇偶性单调性即可得出；
乙：利用导数研究函数的单调性即可得出；
丙：利用函数的奇偶性、数学归纳法即可得出．

解答： 解：甲：由函数f（x）=

x

1+|x|

（x∈R），当x≥0时，f（x）=

x

1+x

，∴0≤f（x）＜1；∵f（-x）=-f（x），∴当x＜0时，∴-1＜f（x）＜0．
因此值域为（-1，1），正确．
乙：当x≥0时，f（x）=

x

1+x

，f′（x）=

1

(1+x)2

＞0，∴函数f（x）单调递增，f（x）≥0；同理，当x＜0时，函数f（x）单调递增，且f（x）＜0．
∴若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂），正确；
丙：∵函数f（x）是奇函数，因此只考虑0＜x即可．
f₁（x）=f（x）=

x

1+x

，因此当n=1时成立．当n=2时，f₂（x）=f（f₁（x））=

f1(x)

1+f1(x)

=

x 1+x

1+ x 1+x

=

x

1+2x

也成立．
假设当n=k时成立，f_k（x）≥

x

1+kx

．
则当n=k+1时，f_k+1（x）=f（f_k（x））=

fk(x)

1+fk(x)

≥

x 1+kx

1+ x kx+1

=

x

1+(k+1)x

，也成立．因此正确．
综上可得：甲乙丙都正确．
故选：D．

点评：本题考查了函数的奇偶性单调性、数学归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．