Question

已知数列{a_n}．a₁=2，当n≥2时，

an

2n

=

an-1

2n-1

+

3

2

（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）C_n=2a_n-3•2ⁿ，设T_n为数列{C_n}的前n项和，求T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知的数列递推式可得数列{

an

2n

}是以

a1

2

=1为首项，以

3

2

为公差的等差数列，求出等差数列的通项公式后可得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的数列{a_n}的通项公式代入C_n=2a_n-3•2ⁿ，由错位相减法求得数列{C_n}的前n项和．

解答： 解：（Ⅰ）由

an

2n

=

an-1

2n-1

+

3

2

（n≥2），
可得数列{

an

2n

}是以

a1

2

=1为首项，以

3

2

为公差的等差数列，
则

an

2n

=1+

3

2

(n-1)=

3

2

n-

1

2

，∴an=

1

2

(3n-1)•2n；
（Ⅱ）c_n=2a_n-3•2ⁿ=2•

1

2

(3n-1)•2n-3•2n
=（3n-1-3）•2ⁿ=（3n-4）•2ⁿ．
则T_n=c₁+c₂+…+c_n
=-1•2¹+2•2²+5•2³+…+（3n-7）•2^n-1+（3n-4）•2ⁿ    ①，
2Tn=-1•22+2•23+5•23+…+(3n-7)•2n+(3n-4)•2n+1    ②，
①-②得：-Tn=-2+3(22+23+…+2n)-(3n-4)•2n+1
=-2+3•

4(1-2n-1)

1-2

-(3n-4)•2n+1=-14-（3n-7）•2ⁿ⁺¹．
∴Tn=(3n-7)•2n+1+14．

点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．