Question

如图，在各棱长都相等的直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E，F分别为AB，CC₁的中点．
（Ⅰ）求证：CE∥平面AB₁F；
（Ⅱ）求直线A₁F与平面AB₁F所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）利用三棱柱的性质连接A₁B交AB₁于D点，连接DE，DF得到四边形DECF为平行四边形，利用线面平行的判定定理可证；
（Ⅱ）∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁各棱长都相等，E为AB的中点得到CE⊥A₁B，由（Ⅰ） CE∥DF得DF⊥A₁B，
所以A₁D⊥平面AB₁F，得到∠A₁FD是A₁F与平面AB₁F所成的角，然后解Rt△A₁DF即可．

解答： 证明：（Ⅰ）如图示，连接A₁B交AB₁于D点，连接DE，DF
由题DE是△ABB₁的中位线
∴DE∥BB₁且DE=

1

2

BB1
即DE∥CF且DE=CF
∴四边形DECF为平行四边形
∴CE∥DF
又CE?平面AB₁F，DF?平面AB₁F
∴CE∥平面AB₁F…6分
解：（Ⅱ）∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁各棱长都相等，E为AB的中点
∴CE⊥AB，CE⊥AA₁
∴CE⊥平面ABB₁A₁，又A₁B?平面ABB₁A₁
∴CE⊥A₁B
由（Ⅰ） CE∥DF得DF⊥A₁B
又A₁D⊥AB₁，DF，AB₁是平面AB₁F内两条相交直线
∴A₁D⊥平面AB₁F
∴DF是A₁F在平面AB₁F上的射影
∴∠A₁FD是A₁F与平面AB₁F所成的角  …9分
设直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱长为a
在Rt△A₁DF中，AD=

2

2

a，AF=

AC2+CF2

=

5

2

a，
∴sin∠A_FD=

A_D

A_F

=

10

5

∴直线A₁F与平面AB₁F所成角的正弦值是

10

5

…12分．

点评：本题考查了三棱柱性质的运用以及线面平行的判定、线面角的求法，属于中档题．