Question

如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2

2

，M是AD的中点，P是BM的中点．
（1）若∠BDC=45°，求直线CD与平面ACB所成角的大小；
（2）若二面角C-BM-D的大小为60°，求BC的长；
（3）若CD=x，对任意x∈[1.

2

]，线段BD上是否存在点E，使得平面CPE⊥平面CMB？若存在，设BE=y，试写出y关于x的函数表达式，并求出y的最大值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）过点D作DQ⊥AC于Q，则BC⊥AD，BC⊥DQ，从而DQ⊥平面ABC，直线CD与平面ABC所成角为∠DCA，由此能求出直线CD与平面ABC所成角．
（2）过C作CG⊥BD于G，过G作GN⊥BM于N，连结CN，则∠CNG是二面角C-BM-D的平面角，由此能推导出BC的长．
（3）过点D作DH⊥MC于H，连结BH，使BH∩PC=K，作KE∥DH，连结BH，使BH∩PC=K，作KE∥DH，且KE∩BD=E，由已知得点E为所求点，由此能求出y关于x的函数表达式，并求出y的最大值．

解答： 解：（1）如图，过点D作DQ⊥AC于Q，
由AD⊥平面BCD，得BC⊥AD，
又BC⊥CD，AD∩CD=D，∴BC⊥DQ，
∵AC∩BC=C，∴DQ⊥平面ABC，
∴直线CD与平面ABC所成角为∠DCA，
在Rt△BCD中，∵∠BDC=45°，∴CD=BC=2，
在Rt△ACD中，∵AD=2，CD=2，∴∠DCA=45°，
∴直线CD与平面ABC所成角为45°．
（2）如图，由已知，平面ADB⊥平面BDC，
过C作CG⊥BD于G，∴CG⊥平面BMD，
过G作GN⊥BM于N，连结CN，
则∠CNG是二面角C-BM-D的平面角，
由已知得BM=

8+1

=3，设∠BDC=α，
则

CD

BD

=cosα，sinα=

CG

CD

=

CB

BD

，∴CD=2

2

cosα，
CG=2

2

cosαsinα，BC=2

2

sinα，
在Rt△BCG中，∠BCG=α，∴sinα=

BG

BC

，BG=2

2

sin2α，
在Rt△BNG中，由

NG

2 2 sin2α

=

1

3

，得NG=

2 2 sin2α

3

，
在Rt△CNGk，∵tan∠CNG=tan60°=

3

=

CG

NG

=

2 3 cosαsinα

2 2 sin2α 3

，∴tanα=

3

，
∵α∈（0°，90°），∴α=60°，∴∠BDC=60°，
∴BC=BDsin∠BDC=2

2

sin60°=

6

．
（3）如图，过点D作DH⊥MC于H，连结BH，
使BH∩PC=K，
在平面HBD中，作KE∥DH，连结BH，使BH∩PC=K，
在平面HBD中，作KE∥DH，且KE∩BD=E，
下面证明点E为所求点，
∵BC⊥平面ADC，且BC?平面CMB，
∴平面CMB⊥平面ADC，
又∵DH⊥MC，∴DH⊥平面CMB，
∵EK∥DH，∴EK⊥平面CMB，∴平面CPE⊥平面CMB，
如图，在Rt△MDC中，

MH

HC

=

MH

DH

•

DH

HC

=

1

x

•

1

x

=

1

x2

，
在Rt△MCB中

MH

HC

=

1

x2

•

MP

PB

=1，
如图，通过补直角三角形为矩形，
利用相似三角形的性质，得

HK

KB

=

x2

1+x2

，
如图，在Rt△DHB中，由题意知△BEK∽△BDH，
∴

BE

BD

=

BK

BH

=

KB

HK+KB

=

x2+1

2x2+1

，
∴y=BE=

2 2 (x2+1)

2x2+1

，x∈[1，

2

]，
令μ=x²∈[1，2]，则y=

2 2 (μ+1)

2μ+1

=

2 2 [(2μ× 1 2 + 1 2 ]

2μ+1

=

2

+

2

2μ

，μ∈[1，2]，
∵f（μ）=

2

+

2

2μ+1

在∈[1，2]上单调递减，
∴当μ=1时，y_max=

4 2

3

．

点评：本题考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，考查空间思维能力、空间想象能力和运算求解能力．