Question

P为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一点，F₁为它的一个焦点，求证：以PF₁为直径的圆与以长轴为直径的圆相切．

Answer 1

考点：圆与圆锥曲线的综合

专题：直线与圆

分析：设PF₁的中点为M，由已知条件求出两圆圆心之间的距离等于两圆半径之差．由此能证明以PF₁为直径的圆与以长轴为直径的圆相切．

解答： 证明：如右图，设PF₁的中点为M，
则两圆圆心之间的距离为：
|OM|=

1

2

|PF₂|=

1

2

（2a-|PF₁|）=a-

1

2

|PF₁|，
即两圆圆心之间的距离等于两圆半径之差．
∴两圆内切，即以PF₁为直径的圆与以长轴为直径的圆相切．

点评：本题考查两圆相切的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．