Question

在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BC₁与平面ABCD所成的角为60°，则BC₁与AC所成的角为

 

（结果用反三角函数表示）．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：计算题,空间位置关系与距离,空间角

分析：连接A₁C₁，A₁B，则AC∥A₁C₁，∠BC₁A₁即为BC₁与AC所成的角．由于CC₁⊥平面ABCD，则∠C₁BC=60°，设正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中的底面边长为a，侧棱长为b，即b=

3

a，再由余弦定理，即可得到．

解答： 解：连接A₁C₁，A₁B，则AC∥A₁C₁，∠BC₁A₁即为BC₁与AC所成的角．
设正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中的底面边长为a，侧棱长为b，
则由于CC₁⊥平面ABCD，则∠C₁BC=60°，
即有tan60°=

b

a

，即b=

3

a，
在△BA₁C₁中，BC₁=BA₁=

a2+b2

=2a，A₁C₁=

2

a，
cos∠BC₁A₁=

4a2+2a2-4a2

2×2a• 2 a

=

2

4

．
则BC₁与AC所成的角为arccos

2

4

．
故答案为：arccos

2

4

．

点评：本题考查空间的直线和平面所成的角，异面直线所成的角的求法，考查运算能力，属于基础题．