Question

数列{a_n}中，S_n-2a_n=2n．
（1）求证{a_n-2}是等比数列；
（2）若a_n=b_n+1-b_n，b₁=3，求数列{b_n}的通项公式；
（3）若c_n=nb_n-2n²，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得a_n+1-2a_n+1+2a_n=2，从而

an+1-2

an-2

=

(2an-2)-2

an-2

=2，由此能证明{a_n-2}是公比为2的等比数列．
（2）由S₁-2a₁=2，解得a₁=2，从而an=2-2n+1 ，bn+1-bn=2-2n+1，由此利用累加法能求出数列{b_n}的通项公式．
（3）cn=nbn-2n2=5n-n•2ⁿ⁺¹，由此利用分组求和法和错位相减法能求出数列{c_n}的前n项和T_n．

解答： （1）证明：∵S_n-2a_n=2n，①
∴S_n+1-2a_n+1=2（n+1）．②
②-①，得：a_n+1-2a_n+1+2a_n=2，
∴a_n+1=2a_n-2，
∴

an+1-2

an-2

=

(2an-2)-2

an-2

=2，
∴{a_n-2}是公比为2的等比数列．
（2）解：∵S₁-2a₁=2，解得a₁=2，
∴an-2=(a1-2)•2n-1=-2ⁿ⁺¹，
∴an=2-2n+1 ，
∴bn+1-bn=2-2n+1，
∴当n≥2时，b2-b1=2-22，b3-b2=2-23，…，bn-bn-1=2-2n，
将以上格式相加得
bn-b1=2(n-1)-(22+23+…+2n)
=2n-2-

4(1-2n-1)

1-2

=2n+2-2ⁿ⁺¹．…（8分）
又b₁=3，∴bn=2n+5-2n+1，n≥2，
又b₁=3也满足上式，
∴bn=2n+5-2n+1．n∈N^*．…（9分）
（3）解：cn=nbn-2n2=5n-n•2ⁿ⁺¹，…（10分）
∴T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n
=5（1+2+3+…+n）-（1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹）
设p_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，
则2p_n=1•2³+2•2⁴+3•2⁵+…+n•2ⁿ⁺²，
-p_n=2²+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺²
=

4(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺²
=（1-n）•2ⁿ⁺²-4．…（13分）
∴T_n=

5n(1+n)

2

+(1-n)•2n+2-4．…（14分）

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．