题目内容
某校高三年段共有1000名学生，将其按专业发展取向分成普理、普文、艺体三类，如图是这三类的人数比例示意图．为开展某项调查，采用分层抽样的方法从这1000名学生中抽取一个容量为10的样本．（Ⅰ）试求出样本中各个不同专业取向的人数；
（Ⅱ）在样本中随机抽取3人，并用ξ表示这3人中专业取向为艺体的人数．试求随机变量ξ的数学期望和方差．
考点：离散型随机变量的期望与方差
专题：概率与统计
分析：（Ⅰ）由题意，先求出该校学生普理生、普文生、艺体生的人数比例，再求10人的样本中普理生、普文生、艺体生的人数．
（Ⅱ）由题意ξ=0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的数学期望和方差．
（Ⅱ）由题意ξ=0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的数学期望和方差．
解答：
解：（Ⅰ）由题意，得该校学生普理生、普文生、艺体生的人数比例为2：2：1，
∴10人的样本中普理生、普文生、艺体生的人数分别为4人，4人，2人．
（Ⅱ）由题意ξ=0，1，2，
P（ξ=0）=
=
，
P（ξ=1）=
=
，
P（ξ=2）=
=
，
∴ξ的分布列：
∴Eξ=0×
+1×
+2×
=
，
Dξ=(0-
)2×
+(1-
)2×
+(2-
)2×
=
．
∴10人的样本中普理生、普文生、艺体生的人数分别为4人，4人，2人．
（Ⅱ）由题意ξ=0，1，2，
P（ξ=0）=
| ||||
|
| 7 |
| 15 |
P（ξ=1）=
| ||||
|
| 7 |
| 15 |
P（ξ=2）=
| ||||
|
| 1 |
| 15 |
∴ξ的分布列：
| ξ | 0 | 1 | 2 | ||||||
| P |
|
|
|
| 7 |
| 15 |
| 7 |
| 15 |
| 1 |
| 15 |
| 3 |
| 5 |
Dξ=(0-
| 3 |
| 5 |
| 7 |
| 15 |
| 3 |
| 5 |
| 7 |
| 15 |
| 3 |
| 5 |
| 1 |
| 15 |
| 28 |
| 75 |
点评：本题考查概率、统计的基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以应用意识，是中档题．
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