Question

已知等差数列{a_n}的公差d≠0，a₁=1，且a₁，a₃，a₉成等比数列．
（1）求数列{a_n}的公差d及通项a_n；
（2）求数列{2an}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件利用等差数列的通项公式和等比数列的性质，求出d=1，由此能求出a_n=n．
（2）由（1）知2am=2ⁿ，由此能求出数列{2an}的前n项和S_n．

解答： 解：（1）由题设知公差d≠0，
由a₁=1，a₁，a₃，a₉成等比数列，
得：

1+2d

1

=

1+8d

1+2d

，…（3分）
解得d=1，d=0（舍去）…（4分）
故{a_n}的通项a_n=1+（n-1）×1=n．…（6分）
（2）由（1）知2am=2ⁿ，…（8分）
由等比数列前n项和公式得
S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ=

2(1-2n)

1-2

…（11分）
=2ⁿ⁺¹-2．…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．