Question

5．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y²=4x的焦点为F，准线交x轴于点H，过H作直线l交抛物线于A，B两点，且|BF|=2|AF|，则△ABF的面积为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 过A，B两点作准线的垂线，垂足分别为A₁，B₁，运用抛物线的定义，结合条件可得AO是△BHF的中位线，运用中位线定理，可得A的坐标，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．

解答 解：过A，B两点作准线的垂线，垂足分别为A₁，B₁，
易知|AF=AA₁|，|BF|=|BB₁|，
∵|BF|=2|AF|，∴|BB₁|=2|AA₁|，
∴A为HB的中点，又O是HF的中点，
∴AO是△BHF的中位线，∴|AO|=$\frac{1}{2}$|BF|=|AF|，
而抛物线的焦点F（1，0），
∴x_A=$\frac{1}{2}$，
∴y_A²=4×$\frac{1}{2}$=2，
y_A=±$\sqrt{2}$，
∴A（$\frac{1}{2}$，±$\sqrt{2}$），
∵A为HB的中点，O是HF的中点，
∴S_△ABF=S_△AHF=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×2=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查抛物线的定义、方程与性质，考查三角形中位线的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．