Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），e=

1

2

，其中F是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l与椭圆C交于点A、B，点A，B的中点横坐标为

1

4

，且

AF

=λ

FB

（其中λ＞1）．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；  
（Ⅱ）求实数λ的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（I）由条件可知c=1，a=2，由此能求出椭圆的标准方程．
（Ⅱ）由

AB

=λ

FB

，可知A，B，F三点共线，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB⊥x轴，则x₁=x₂=1，不合意题意．当AB所在直线l的斜率k存在时，设方程为y=k（x-1）．由

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出实数λ的值．

解答： 解：（I）由条件可知c=1，a=2，故b²=a²-c²=3，
椭圆的标准方程是

x2

4

+

y2

3

=1．…（4分）
（Ⅱ）由

AB

=λ

FB

，可知A，B，F三点共线，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
若直线AB⊥x轴，则x₁=x₂=1，不合题意．
当AB所在直线l的斜率k存在时，设方程为y=k（x-1）．
由

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，消去y得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．①
由①的判别式△=64k⁴-4（4k²+3）（4k²-12）=144（k²+1）＞0．
因为

x1+x2= 8k2 4k2+3 x1x2= 4k2-12 4k2+3

，…（6分）
所以x1+x2=

8k2

4k2+3

=

1

2

，所以k2=

1

4

．…（8分）
将k2=

1

4

代入方程①，得4x²-2x-11=0，
解得x=

1±3 5

4

．…（10分）
又因为

AF

=（1-x₁，-y₁），

FB

=（x₂-1，y₂），

AF

=λ

FB

，
λ=

1-x1

x2-2

，解得λ=

3+ 5

2

．…（12分）

点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，考查满足条件的实数的值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．