Question

【题目】已知

（1）求函数的解析式及其定义域；

（2）若对恒成立，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）f（x）=2x-2-x；定义域为（2）（-∞，-1]

【解析】

（1）利用换元法，求得函数的解析式，并求得定义域.

（2）利用换元法，将原不等式分离常数得到在恒成立，利用二次函数对称轴，求得在上的最小值，进而求得的取值范围.

（1）设log2x=t，t∈R

可得x=2t

∴f（t）=，

即f（x）=2x-2-x,定义域为.

（2）由8x-8-x-4x+1-41-x+8≥kf（x）对x∈[1，+∞）恒成立，

即8x-8-x-4x+1-41-x+8≥k（2x-2-x）对x∈[1，+∞）恒成立，

可得（2x）3-（2-x）3-4[（2x）2+（2-x）2]+8≥k（2x-2-x）

则（2x-2-x）[（2x）2+（2-x）2+1]-4[（2x）2+（2-x）2]+8≥k（2x-2-x）

∴（2x-2-x）[（2x-2-x）2+3]-4[（2x-2-x）2+2]+8≥k（2x-2-x）

∴（2x-2-x）[（2x-2-x）2+3]-4（2x-2-x）2≥k（2x-2-x）

设2x-2-x=t，

可得t（t2+3）-4t2≥kt，（t∈R）

∵x∈[1，+∞）恒成立，

∴t≥

则t2+3-4t≥k在t∈[，+∞）恒成立，

当t=2时，（t2+3-4t）min=-1

∴k≤-1；

故得k的取值范围是（-∞，-1]；