题目内容
【题目】已知椭圆C:+
=1(a>b>0)的离心率为
,直线l:x+2y=4与椭圆有且只有一个交点T.
(I)求椭圆C的方程和点T的坐标;
(Ⅱ)O为坐标原点,与OT平行的直线l′与椭圆C交于不同的两点A,B,直线l′与直线l交于点P,试判断是否为定值,若是请求出定值,若不是请说明理由.
【答案】(I)+
=1,T(1,
); (Ⅱ)见解析.
【解析】
(I)由椭圆的离心率为得到 b2=
a2,根据直线l:x+2y=4与椭圆有且只有一个交点T得到△=0,解得a2=4,b2=3,即得椭圆的方程. (Ⅱ)先计算出|PT|2=
t2,|PA|=
=
|
﹣x1|,|PB|=
|
﹣x2|,再计算
=
为定值.
(I)由椭圆的离心率e==
=
,则b2=
a2,
则,消去x,整理得:
y2﹣16y+16﹣a2=0,①
由△=0,解得:a2=4,b2=3,
所以椭圆的标准方程为:+
=1;所以
=
,则T(1,
),
(Ⅱ)设直线l′的方程为y=x+t,由
,解得P的坐标为(1﹣
,
+
),
所以|PT|2=t2,
设设A(x1,y1),B(x2,y2),联立,消去y整理得x2+tx+
﹣1=0,
则x1+x2=﹣t,x1x2=,△=t2﹣4(
﹣1)>0,t2<12,
y1=x1+t,y2=
x2+t,|PA|=
=
|
﹣x1|,
同理|PB|=|
﹣x2|,
|PA||PB|=|(
﹣x1)(
﹣x2)|=
|
﹣
(x1+x2)+x1x2|,
|
﹣
(﹣t)+
|=
t2,所以
=
=
,
所以=
为定值.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某公司为了解广告投入对销售收益的影响,在若干地区各投入万元广告费用,并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图(如图所示).由于工作人员操作失误,横轴的数据丢失,但可以确定横轴是从
开始计数的. [附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.]
(1)根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度;
(2)试估计该公司投入万元广告费用之后,对应销售收益的平均值(以各组的区间中点值代表该组的取值);
(3)该公司按照类似的研究方法,测得另外一些数据,并整理得到下表:
广告投入 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
销售收益 | 2 | 3 | 2 | 7 |
由表中的数据显示, 与
之间存在着线性相关关系,请将(2)的结果填入空白栏,并求出
关于
的回归直线方程.