Question

已知椭圆的一个焦点为(

2

，0)，且长轴长为短轴长的

3

倍．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆的下顶点为A，且椭圆与直线y=kx+m（k≠0）相交于不同的两点M，N．当|AM|=|AN|时，求m的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设出椭圆方程，利用椭圆的一个焦点为(

2

，0)，且长轴长为短轴长的

3

倍，确定几何量，从而可得椭圆的方程；
（2）设P为弦MN的中点，直线与椭圆方程联立得（3k²+1）x²+6mkx+3（m²-1）=0，由于直线与椭圆有两个交点，可得m²＜3k²+1，|AM|=||AN|，可得AP⊥MN，由此可推导出m的取值范围．

解答： 解：（1）∵椭圆的一个焦点为(

2

，0)，且长轴长为短轴长的

3

倍，
∴c=

2

，a=

3

b，
∴a=

3

，b=1，
∴椭圆标准方程为

x2

3

+y2=1；
（2）设P为弦MN的中点，直线方程代入椭圆方程，消去y得（3k²+1）x²+6mkx+3（m²-1）=0
由于直线与椭圆有两个交点，∴△＞0，即m²＜3k²+1①
∴xp=

xM+xN

2

=-

3mk

3k2+1

，
∴y_P=kx_P+m=

m

3k2+1

∴k_AP=

yP+1

xp

=-

m+3k2+1

3mk

，
又|AM|=||AN|，∴AP⊥MN，
∴-

m+3k2+1

3mk

=-

1

k

，即2m=3k²+1②
把②代入①得2m＞m²解得0＜m＜2由②得k²=

2m-1

3

＞0，解得m＞

1

2

．
故所求m的取范围是（

1

2

，2）．

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．