Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为8，离心率为

1

2

，
（1）求椭圆的标准方程；
（2）在椭圆上任取一点P，求P到直线l：x-2y-12=0的距离的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意知2a=8，

c

a

=

1

2

，由此能求出椭圆的方程．
（2）法一：设与l平行且与椭圆相切的直线方程为x-2y+m=0，联立

x-2y+m=0 x2 16 + y2 12 =1

，得：4x²+2mx+m²-48=0，当P为l₁与椭圆的切点时距离最小，由此能求出P到直线l：x-2y-12=0的距离的最小值．
（2）法二：设椭圆上任一点P坐标为（4cosθ，2

3

sinθ)，由此利用两点间距离公式能求出P到直线l：x-2y-12=0的距离的最小值．

解答： （本小题共14分）
（1）解：由题意知2a=8，

c

a

=

1

2

，
∴a=4，c=2，b²=16-4=12，
∴椭圆的方程为

x2

16

+

y2

12

=1．…（5分）
（2）解法一：设与l平行且与椭圆相切的直线方程为x-2y+m=0，
联立

x-2y+m=0 x2 16 + y2 12 =1

，
消去y得：4x²+2mx+m²-48=0，…（8分）
令△=4m²-16（m²-48）=0，得m=±8，…（10分）
当m=-8时，所得直线l₁：x-2y-8=0，…（11分）
当P为l₁与椭圆的切点时距离最小，
此时距离等于直线l₁与直线l的距离．
直线l₁与直线l距离d=

|-12-(-8)|

12+(-2)2

=

4 5

5

∴P到直线l：x-2y-12=0的距离的最小值为

4 5

5

．…（14分）
（2）解法二：∵椭圆的方程为

x2

16

+

y2

12

=1，
∴设椭圆上任一点P坐标为（4cosθ，2

3

sinθ)，…（8分）
点P到直线l的距离：
d=

|4cosθ-2×2 3 sinθ-12|

12+(-2)2

=

|8cos( π 3 +θ)-12|

5

，…（12分）
当cos(

π

3

+θ)=1时，
dmin=

4 5

5

．
∴P到直线l：x-2y-12=0的距离的最小值为

4 5

5

．…（14分）

点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，考查点到直线的距离的最小值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．