Question

为保持水资源，宣传节约用水，某校4名志愿者准备去附近的甲、乙、丙三家公园进行宣传活动，每名志愿者都可以从三家公园中随机选择一家，且每人的选择相互独立．
（Ⅰ）求4人恰好选择了同一家公司的概率；
（Ⅱ）设选择甲公园的志愿者的人数为X，试求X的分布列及期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）设“4人恰好选择了同一家公司”为事件A，每名志愿者都有3种选择，4名志愿者的选择共有3⁴种等可能的情况，事件A所包含的等可能事件的个数为3，由此能求出4人恰好选择了同一家公园的概率．
（Ⅱ）设“一名志愿者选择甲公园”为事件C，则P（C）=

1

3

，4人中选择甲公园的人数X可看作4次独立重复试验中事件C发生的次数，随机变量X服从二项分布，X可取的值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答： 解：（Ⅰ）设“4人恰好选择了同一家公司”为事件A，
每名志愿者都有3种选择，4名志愿者的选择共有3⁴种等可能的情况，
事件A所包含的等可能事件的个数为3，
∴P（A）=

3

34

=

1

27

，
4人恰好选择了同一家公园的概率为

1

27

．
（Ⅱ）设“一名志愿者选择甲公园”为事件C，则P（C）=

1

3

，
4人中选择甲公园的人数X可看作4次独立重复试验中事件C发生的次数，
∴随机变量X服从二项分布，
X可取的值为0，1，2，3，4，
P（X=i）=

C

i 4

(

1

3

)i(

2

3

)4-i，i=0，1，2，3，4．
∴P（X=0）=(

2

3

)4=

16

81

，
P（X=1）=

C

1 4

(

1

3

)(

2

3

)3=

32

81

，
P（X=2）=

C

2 4

(

1

3

)2(

2

3

)2=

24

81

，
P（X=3）=

C

3 4

(

1

3

)3(

2

3

)=

8

81

，
P（X=4）=

C

4 4

(

1

3

)4=

1

81

，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3	4
P	16 81	32 81	24 81	8 81	1 81

EX=0×

16

81

+1×

32

81

+2×

24

81

+3×

8

81

+4×

1

81

=

108

81

．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题．