Question

已知椭圆的焦点是F₁（-1，0），F₂（1，0），P为椭圆上一点，且|F₁F₂|是|PF₁|和|PF₂|的等差中项．若点P在第三象限，且∠PF₁F₂=120°，则sin∠F₁PF₂=

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：解三角形,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：首先根据题意建立|PF₁|+|PF₂|=2|F₁F₂|=4，进一步在三角形中，利用余弦定理求出|PF1|=

6

5

，|PF₂|=

14

5

，最后利用正弦定理求出结果．

解答： 解：椭圆的焦点是F₁（-1，0），F₂（1，0），
则：|F₁F₂|=2
又P为椭圆上一点，且|F₁F₂|是的等差中项
|PF₁|+|PF₂|=2|F₁F₂|=4 ①
在△PF₁F₂中，∠PF₁F₂=120°
利用余弦定理得：|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1||F₁F₂|COS120°②
由①②解得：|PF₂|=

14

5

  |PF1|=

6

5

利用正弦定理：

|F1F2|

sin∠F1PF2

=

|PF2|

sin∠PF1F2

解得：sin∠F₁PF₂=

5 3

14

故答案为：

5 3

14

点评：本题考查的知识要点：椭圆的定义，等差中项的应用，正弦定理的应用和余弦定理得应用．