Question

如图，设P₁，P₂，…，P₆为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．现从这六个点中任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量S．
（1）求S=

3

2

的概率；
（2）求S的分布列及数学期望E（S）．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,等可能事件的概率

专题：应用题,概率与统计

分析：（1）由古典概型的概率计算公式，能求出取出的三角形的面积S=

3

2

的概率．
（2）由题设条S的所有可能取值为为

3

4

，

3

2

，

3 3

4

，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量S的分布列及期望．

解答： 解：（1）从这六个点中任选其中三个不同点构成一个三角形，共有

C

3 6

种不同的选法，
其中S=

3

2

的为有一个角是30°的三角形，共6×2=12种
所以，P(S=

3

2

)=

12

C 3 6

=

3

5

．                            （4分）
（2）S的所有可能取值为

3

4

，

3

2

，

3 3

4

．
S=

3

4

的为顶角是120°的等腰三角形（如△P₁P₂P₃），共6种，
所以，P(S=

3

4

)=

6

C 3 6

=

3

10

．                                   （6分）
S=

3 3

4

的为等边三角形（如△P₁P₃P₅），共2种，
所以，P(S=

3 3

4

)=

2

C 3 6

=

1

10

，（ 8分）
P（S=

3

2

）=

3

5

，
所以S的分布列为

S	3 4	3 2	3 3 4
P	3 10	3 5	1 10

ES=

3

4

×

3

10

+

3

2

×

3

5

+

3 3

4

×

1

10

=

9 3

20

．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．